Question

(本小題滿分14分)
已知圓方程為：.
（Ⅰ）直線過點，且與圓交于、兩點，若，求直線的方程;
（Ⅱ）過圓上一動點作平行于軸的直線，設與軸的交點為，若向量，求動點的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.

Answer 1

（Ⅰ）或；                
（Ⅱ）點的軌跡方程是，軌跡是一個焦點在軸上的橢圓，除去短軸端點.  

(I)先討論直線不存在時，是否符合題意.
然后再設直線斜率存在時的方程為,再利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再利用弦長公式,建立關于k的方程，求解即可.
(II)本小題屬于相關點求軌跡方程.設點的坐標為（），點坐標為
則點坐標是，再根據，得到，
然后利用點M在圓上，可得到動點Q的軌跡方程，再通過方程判斷軌跡是什么曲線.
解：（Ⅰ）①當直線垂直于軸時，則此時直線方程為，與圓的兩個交點坐標和，其距離為. 滿足題意  ………  1分
②若直線不垂直于軸，設其方程為，即     
設圓心到此直線的距離為，則，得  …………3分       
∴，，                                    
故所求直線方程為                               
綜上所述，所求直線為或  …………7分                  
（Ⅱ）設點的坐標為（），點坐標為
則點坐標是                      …………9分
∵，
∴ 即，   …………11分          
又∵，∴                     
∴點的軌跡方程是，              …………13分     
軌跡是一個焦點在軸上的橢圓，除去短軸端點.   …………14分