【題目】已知橢圓C：
＋
＝1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1(－1，0)，F2(1，0)，且橢圓C經過點P
.
(1)求橢圓C的離心率；
(2)設過點A(0，2)的直線l與橢圓C交于M，N兩點，點Q是線段MN上的點，且
＝
＋
，求點Q的軌跡方程．
【答案】見解析
【解析】
解：(1)由橢圓定義知，
2a＝|PF1|＋|PF2|
＝
＋
＝2
，
所以a＝.
又由已知，得c ＝1，
所以橢圓C的離心率e＝
＝
＝
.
(2)由(1)知，橢圓C的方程為
＋y2＝1.
設點Q的坐標為(x，y)．
①當直線l與x軸垂直時，直線l與橢圓C交于(0，1)，(0，－1)兩點，此時點Q的坐標為
.
②當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝kx＋2.
因為M，N在直線l上，可設點M，N的坐標分別為(x1，kx1＋2)，(x2，kx2＋2)，則|AM|2＝(1＋k2)x，|AN|2＝(1＋k2)x.
又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)x2.
由
＝
＋
，得
＝
＋
，
即
＝
＋
＝
.①
將y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得
(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②
由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6>0，
得k2>
.
由②可知，x1＋x2＝
，x1x2＝
，
代入①中并化簡，得x2＝
.③
因為點Q在直線y＝kx＋2上，所以k＝
，代入③中并化簡，
得10(y－2)2－3x2＝18.
由③及k2>，可知0<x2<，
即x∈
∪
.
又點滿足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈
.
由題意知Q(x，y)在橢圓C內，
所以－1≤y≤1.
又由10(y－2)2＝18＋3x2有
(y－2)2∈
，且－1≤y≤1，
則y∈
.
所以點Q的軌跡方程為10(y－2)2－3x2＝18，
其中x∈，y∈.
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【題目】在平面直角坐標系中，圓
的方程為
（
為參數），以坐標原點
為極點，
軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，兩種坐標系中取相同的單位長度，直線
的極坐標方程為
.
（I）當
時，判斷直線與的關系；
（II）當上有且只有一點到直線的距離等于
時，求上到直線距離為
的點的坐標.
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【題目】如圖，六面體ABCDHEFG中，四邊形ABCD為菱形，AE，BF，CG，DH都垂直于平面ABCD.若DA＝DH＝DB＝4，AE＝CG＝3。
(1)求證：EG⊥DF；
(2)求BE與平面EFGH所成角的正弦值．
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【題目】小明準備利用暑假時間去旅游，媽媽為小明提供四個景點，九寨溝、泰山、長白山、武夷山．小明決定用所學的數學知識制定一個方案來決定去哪個景點：（如圖）曲線
和直線
交于點
．以
為起點，再從曲線
上任取兩個點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為
．若
去九寨溝；若
去泰山；若
去長白山； 
去武夷山．
（1）若從
這六個點中任取兩個點分別為終點得到兩個向量，分別求小明去九寨溝的概率和不去泰山的概率；
（2）按上述方案，小明在曲線
上取點
作為向量的終點，則小明決定去武夷山．點
在曲線
上運動，若點
的坐標為
，求
的最大值．
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【題目】如圖，已知M(x0，y0)是橢圓C：
＋
＝1上的任一點，從原點O向圓M：(x－x0)2＋(y－y0)2＝2作兩條切線，分別交橢圓于點P，Q.
(1)若直線OP，OQ的斜率存在，并記為k1，k2，求證：k1k2為定值；
(2)試問|OP|2＋|OQ|2是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．
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【題目】已知函數f(x)＝x2－ax＋ln(x＋1)(a∈R)．
(1)當a＝2時，求函數f(x)的極值點；
(2)若函數f(x)在區間(0，1)上恒有f′(x)＞x，求實數a的取值范圍；
(3)已知a＜1，c1＞0，且cn＋1＝f′(cn)(n＝1，2，…)，證明數列{cn}是單調遞增數列．
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【題目】已知數列{an}是等差數列，從a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中取走任意四項，則剩下三項構成等差數列的概率為( )
A. 
B. 
C．1或 D．1或
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