Question

（2012•海口模擬）選修4-5：不等式選講
已知函數f（x）=|2x+1|，g（x）=|x|+a-1
（1）當a=1，解不等式f（x）≥g（x）；
（2）若存在x∈R，使得f（x）≤g（x）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先寫出當a=1時的不等式|2x+1|≥|x|，再利用兩邊平方整理化成一元二次不等式即可解決問題；
（2）先由f（x）≤g（x）分離出參數a得a-1≥|2x+1|-|x|，令h（x）=|2x+1|-|x|，下面求得h（x）的最小值，從而所求實數a的范圍．

解答：解：（1）當a=1時，由f（x）≥g（x）得|2x+1|≥|x|，
兩邊平方整理得3x²+4x+1≥0，解得x≤-1或x≥-

1

3

，
∴原不等式的解集為（-∞，-1]∪[-

1

3

，+∞）…（5分）
（Ⅱ）由f（x）≤g（x）得a-1≥|2x+1|-|x|，
令h（x）=|2x+1|-|x|，則 h（x）=

-x-1，x≤- 1 2 3x+1，- 1 2 ＜x＜0 x+1，x≥0

…（7分）
故h（x）min=h（-

1

2

）=-

1

2

，從而所求實數a的范圍為a-1≥-

1

2

，即a≥

1

2

…（10分）

點評：本題主要考查了絕對值不等式的解法、函數存在性問題．對于函數存在性問題，處理的方法是：利用分離參數法轉化為求函數的最值問題解決．