Question

平面內有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且無任何三個圓相交于一點，求證：這n個圓將平面分成f（n）=n²-n+2個部分.

Answer 1

分析：問題的難點是在假設n=k時，k個圓把平面分成f（k）=k²-k+2個部分，那么當n=k+1時，平面增加幾部分.此時第k+1個圓與前面k個圓有2k個交點，這2k個交點將第k+1個圓分成2k段，每段將各自所在的區域一分為二，因此增加了2k個部分.

證明：（1）當n=1時，一個圓將平面分成二部分，且f（1）=1²-1+2=2，因此，n=1時命題成立.

    （2）假設n=k時，命題成立，即k個圓把平面分成f（k）=k²-k+2部分,如果增加一個滿足條件的任一個圓，則這個圓必與前k個圓交于2k個點,這2k個點把這個圓分成2k段弧，每段弧把它所在的原有平面分成為兩部分，因此,這時平面被分割的總數在原來的基礎上又增加了2k個部分，即

f（k+1）=f（k）+2k=k²-k+2+2k

=（k+1）²-（k+1）+2，

即當n=k+1時，命題亦成立.

根據（1）（2）可知，n個圓將平面分成了f（n）=n²-n+2部分.