Question

31、平面內有n個圓，其中每兩個圓都交于兩點，且無三個圓交于一點，求證：這n個圓將平面分成n²+n+2個部分．

Answer 1

分析：用數學歸納法證明幾何問題時分為兩個步驟，第一步，先證明當當n=1時，1個圓將平面分成幾部分，第二步，先假設當k個圓將平面分成k²-k+2個部分，利用此假設證明當n=k+1時，結論也成立即可．

解答：證明：（1）n=1時，1個圓將平面分成2部分，顯然命題成立．
（2）假設n=k（k∈N^*）時，k個圓將平面分成k²-k+2個部分．
當n=k+1時，第k+1個圓C_k+1交前面2k個點，這2k個點將圓C_k+1分成2k段，
每段各自所在區域一分為二，于是增加了2k個區域，
所以這k+1個圓將平面分成k²-k+2+2k個部分，即（k+1）²-（k+1）+2個部分．
故n=k+1時，命題成立．由（1）、（2）可知，對任意n∈N^*命題成立．

點評：本題主要考查數學歸納法，數學歸納法的基本形式
設P（n）是關于自然數n的命題，若
1°P（n₀）成立（奠基）
2°假設P（k）成立（k≥n₀），可以推出P（k+1）成立（歸納），則P（n）對一切大于等于n₀的自然數n都成立