【題目】設函數
.
（1）當
時，求函數
的最大值；
（2）令
其圖象上任意一點
處切線的斜率
恒成立，求實數
的取值范圍；
（3）當
，
，方程
有唯一實數解，求正數
的值
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
（1）對函數
進行求導，判斷其在
單調遞增，在
單調遞減，從而得到最大值為
；
（2）求出函數
，
，則其導數小于等于
在
恒成立，進而求出
的取值范圍；
（3）方程
有唯一實數解，設
，利用導數研究函數
的圖象特征，設
為方程的唯一解，得到
，把方程組轉化成
，再利用導數研究該方程的根，最后根據根的唯一性，得到與
的關系，再求出正數的值.
（1）依題意，知
的定義域為
，
當
時，
，
令
，解得
.
當
時，
，此時單調遞增；
當
時，
，此時單調遞減.
所以的極大值為
，此即為最大值.
（2），，則有
，在
上恒成立，所以
，.
當
時，
取得最大值，所以.
（3）因為方程
有唯一實數解，所以有唯一實數解，
設，則
.
令
，
，
因為
，
，所以
（舍去），
，
當
時，
，
在
上單調遞減，
當
時，
，在
上單調遞增，
當
時，
，取最小值
.
則，即
，
所以，
因為，所以
設函數
，
因為當時，
是增函數，所以
至多有一解，
又
，所以方程
的解為
，即
，解得.
金鑰匙試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，且2asinA＝(2b－c)sinB＋(2c－b)sinC..
(1)求角A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝
，試判斷△ABC的形狀.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在工業生產中，對一正三角形薄鋼板（厚度不計）進行裁剪可以得到一種梯形鋼板零件，現有一邊長為3（單位：米）的正三角形鋼板（如圖），沿平行于邊
的直線
將
剪去，得到所需的梯形鋼材
,記這個梯形鋼板的周長為
（單位：米），面積為
（單位：平方米）.
（1）求梯形的面積關于它的周長的函數關系式；
（2）若在生產中，梯形的面積與周長之比（即
）達到最大值時，零件才能符合使用要求，試確定這個梯形的周長為多時，該零件才可以在生產中使用？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】半期考試后，班長小王統計了50名同學的數學成績，繪制頻率分布直方圖如圖所示．
根據頻率分布直方圖，估計這50名同學的數學平均成績；
用分層抽樣的方法從成績低于115的同學中抽取6名，再在抽取的這6名同學中任選2名，求這兩名同學數學成績均在
中的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時10千米時,燃料費是每小時6元,而其他與速度無關的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1千米所需的費用總和最少?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公司有男性職工64名，一次體檢后，將他們的體重（單位：kg）分組為：
，
，
，
，
，繪制出頻率分布直方圖如圖，圖中從左到右的前3個小組的頻率之比為
.
（1）求這64名男職工中，體重小于60kg的人數；
（2）從體重在
kg范圍的男職工中用分層抽樣的方法選取6名，再從這6名男職工中隨機選取2名，記“至少有一名男職工體重大于65kg”為事件
，求事件發生的概率.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖
，直角梯形
，
，將
沿
折起來，使平面
平面
.如圖
，設
為
的中點，
，的中點為
.
（）求證：
平面.
（）求平面
與平面所成銳二面角的余弦值.
（
）在線段
上是否存在點
，使得
平面
，若存在確定點的位置，若不存在，說明理由.
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