Question

（2011•豐臺區一模）已知點A（-1，0），B（1，0），動點P滿足|PA|+|PB|=2

3

，記動點P的軌跡為W．
（Ⅰ）求W的方程；  
（Ⅱ）直線y=kx+1與曲線W交于不同的兩點C，D，若存在點M（m，0），使得|CM|=|DM|成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，點P到兩定點A、B的距離之和為定值2

3

，且此值大于兩定點間的距離2，由橢圓定義可知動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為2

3

的橢圓，從而寫出W的標準方程
（Ⅱ）先將直線方程與曲線W的方程聯立，得關于x的一元二次方程，利用韋達定理，寫出交點C、D的橫坐標的和與積，再求出線段CD的中垂線的方程，此直線與x軸的交點即為M，從而得m關于k的函數，求函數值域即可

解答：解：（Ⅰ）∵|PA|+|PB|=2

3

＞|AB|=2
∴由橢圓的定義可知，動點P的軌跡是以A，B為焦點，長軸長為2

3

的橢圓．
∴c=1，a=

3

，b²=2．
∴W的方程是

x2

3

+

y2

2

=1．          
（Ⅱ）設C，D兩點坐標分別為C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），C，D中點為N（x₀，y₀）．
由

y=kx+1 x2 3 + y2 2 =1

得 （3k²+2）x²+6kx-3=0．
∵△=36k²+12（3k²+2）＞0
∴x1+x2=-

6k

3k2+2

，
∴x0=

x1+x2

2

=-

3k

3k2+2

，從而y0=kx0+1=

2

3k2+2

．
∴線段CD的中垂線的方程為y-y₀=-

1

k

（x-x₀）
即y-

2

3k2+2

=-

1

k

（x+

3k

3k2+2

）
令y=0，得x=--

k

3k2+2

∵存在點M（m，0），使得|CM|=|DM|
∴m=-

k

3k2+2

當k=0時，m=0
當k＞0時，m=-

k

3k2+2

=-

1

3k+ 2 k

≥-

1

2 3k× 2 k

=-

6

12

即m∈[-

6

12

，0)
當k＜0時，m=-

k

3k2+2

=-

1

3k+ 2 k

≤

1

2 -3k× 2 -k

=

6

12

即m∈(0，

6

12

]

∴m∈[-

6

12

，0)∪(0，

6

12

]∪{0}=[-

6

12

，

6

12

]．
故所求m的取范圍是[-

6

12

，

6

12

]．

點評：本題考查了橢圓的定義及橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，特別是直線與橢圓相交時，利用韋達定理設而不求的技巧解決幾何問題，是本題考查的重點