【題目】已知函數
（
）.
（1）證明：當
時，
在
上是增函數；
（2）是否存在實數
，只有唯一正數
，對任意正數
，使不等式
恒成立？若存在，求出這樣的；若不存在，請說明理由.
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【題目】設拋物線C：
的焦點為F，經過點F的直線與拋物線交于A、B兩點．
(1)若
，求線段
中點M的軌跡方程；
(2)若直線AB的方向向量為
，當焦點為
時，求
的面積；
(3)若M是拋物線C準線上的點，求證：直線
的斜率成等差數列．
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【題目】設
是定義在
上的函數，若存在
，使得在
單調遞增，在
上單調遞減，則稱為上的單峰函數，
為峰點，包含峰點的區間稱為含峰區間，其含峰區間的長度為：
．
（1）判斷下列函數中，哪些是“
上的單峰函數”？若是，指出峰點；若不是，說出原因；
；
（2）若函數
是
上的單峰函數，求實數
的取值范圍；
（3）若函數是區間上的單峰函數，證明：對于任意的
，若
，則
為含峰區間；若
，則
為含峰區間；試問當
滿足何種條件時，所確定的含峰區間的長度不大于0.6．
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【題目】關于函數
，給出以下四個命題，其中真命題的序號是_______.
①
時，
單調遞減且沒有最值；
②方程
一定有解；
③如果方程
有解，則解的個數一定是偶數；
④是偶函數且有最小值.
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【題目】（本題滿分14分）本題共有2個小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.
有時可用函數
描述學習某學科知識的掌握程度，其中x表示某學科知識的學習次數（
），
表示對該學科知識的掌握程度，正實數a與學科知識有關.
（1） 證明：當
時，掌握程度的增加量
總是下降；
（2） 根據經驗，學科甲、乙、丙對應的a的取值區間分別為
,
,
.當學習某學科知識6次時，掌握程度是85%，請確定相應的學科.
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【題目】某公司在迎新年晚會上舉行抽獎活動，有甲、乙兩個抽獎方案供員工選擇；
方案甲：員工最多有兩次抽獎機會，每次抽獎的中獎率為
.第一次抽獎，若未中獎，則抽獎結束.若中獎，則通過拋一枚質地均勻的硬幣，決定是否繼續進行第二次抽獎，規定：若拋出硬幣，反面朝上，員工則獲得500元獎金，不進行第二次抽獎；若正面朝上，員工則須進行第二次抽獎，且在第二次抽獎中，若中獎，獲得獎金1000元；若未中獎，則所獲獎金為0元.
方案乙：員工連續三次抽獎，每次中獎率均為
，每次中獎均可獲獎金400元.
（1）求某員工選擇方案甲進行抽獎所獲獎金
（元）的分布列；
（2）某員工選擇方案乙與選擇方案甲進行抽獎，試比較哪個方案更劃算？
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