Question

設函數的圖象在點（x，f（x））處的切線的斜率為k（x），且函數為偶函數．若函數k（x）滿足下列條件：①k（-1）=0；②對一切實數x，不等式恒成立．
（Ⅰ）求函數k（x）的表達式；
（Ⅱ）求證：（n∈N^*）．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x），根據g（x）的奇偶性求出b，根據k（-1）=0，求出，再由對一切實數x恒成立，解得a、c的值，即得函數k（x）的表達式．
（Ⅱ）根據，即證，把代入要證不等式的左邊化簡即可證得不等式成立．
解答：解：（Ⅰ）由已知得：k（x）=f'（x）=ax²+bx+c．…（1分）
由為偶函數，得為偶函數，顯然有．…（2分）
又k（-1）=0，所以a-b+c=0，即．…（3分）
又因為對一切實數x恒成立，
即對一切實數x，不等式恒成立．…（4分）
顯然，當時，不符合題意．…（5分）
當時，應滿足，
注意到，解得．…（7分）  所以． …（8分）
（Ⅱ）證明：因為，所以．…（9分）
要證不等式成立，
即證．…（10分）
因為，…（12分）
所以=．
所以成立．…（14分）
點評：本題主要考查函數的奇偶性的應用，函數的恒成立問題，利用導數研究曲線在某點的切線斜率，以及用裂項法對數列進行
求和，屬于難題．