Question

已知y=f（x）是定義在R上的奇函數，且y=f(x+

π

2

)為偶函數，對于函數y=f（x）有下列幾種描述：
①y=f（x）是周期函數②x=π是它的一條對稱軸；③（-π，0）是它圖象的一個對稱中心；
④當x=

π

2

時，它一定取最大值；其中描述正確的是

 

．

Answer 1

分析：根據函數的奇偶性和對稱性對每一個選支進行逐一判定即可．

解答：解：∵y=f(x+

π

2

)為偶函數
∴f（-x+

π

2

）=f（x+

π

2

），對稱軸為

π

2

而y=f（x）是定義在R上的奇函數
∴f（-x+

π

2

）=-f（x-

π

2

）=f（x+

π

2

）
即f（x+

π

2

）=-f（x-

π

2

），f（x+π）=-f（x），f（x+2π）=f（x）
∴y=f（x）是周期函數，故①正確
x=

π

2

+2kπ（k∈Z）是它的對稱軸，故②不正確
（-π，0）是它圖象的一個對稱中心，故③正確
當x=

π

2

時，它取最大值或最小值，故④不正確
故答案為：①③

點評：本題主要考查了函數奇偶性的性質、對稱性、周期性等有關基礎知識，同時考查了轉化與劃歸的數學思想，屬于基礎題．