Question

已知函數f（x）=e^x（ax+2）（e為自然對數的底數，a∈R為常數）．對于函數g（x），h（x），若存在常數k，b，對于任意x∈R，不等式g（x）≤kx+b≤h（x）都成立，則稱直線y=kx+b是函數g（x），h（x）的分界線．
（Ⅰ）若a=-1，求f（x）的極值；
（Ⅱ）討論函數f（x）的單調性；
（Ⅲ）設a=2，試探究函數g（x）=-x²+4x+2與函數f（x）是否存在“分界線”？若存在，求出分界線方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性

專題：導數的綜合應用

分析：（Ⅰ）若a=-1，求函數的導數，即可求出f（x）的極值；
（Ⅱ）先求出函數f（x）的導函數，然后討論a與0的大小關系，在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間；
（Ⅲ）假設存在，令x=0，求出m的值，從而kx+1≥-x²+4x+2恒成立，然后求函數的恒成立問題即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）若a=-1，則f（x）=e^x（-x+2），
f′（x）=e^x（-x+1），
當x＞1時，f′（x）＜0，函數單調遞減，
當x＜1，f′（x）＞0，函數單調遞增，
故當x=1時函數f（x）取得極大值f（1）=e；
（Ⅱ）f′（x）=e^x（ax+a+2），
當a＞0時，f′（x）＞0?ax＞-a-2，即x＞-1-

2

a

，
函數f（x）在區間（-1-

2

a

，+∞）上是增函數，
由f′（x）＜0，得x＜-1-

2

a

，
在區間（-∞，-1-

2

a

）上是減函數；
當a=0時．f′（x）＞0，函數f（x）是區間（-∞，+∞）上的增函數；
當a＜0時，f′（x）＞0?ax＞-a-2即x＜-1-

2

a

，
函數f（x）在區間（-∞，-1-

2

a

）上是增函數，在區間（-1-

2

a

，+∞）上是減函數．
（Ⅲ）當a=2時，f（x）=e^x（2x+2），
若存在，g（x）≤kx+b≤h（x）
則-x²+4x+2≤kx+m≤e^x（2x+2）恒成立，
令x=0，則2≤m≤2，所以m=2，
因此：kx+2≥-x²+4x+2恒成立，即x²+（k-4）x≥0恒成立，
由△≤0得到（k-4）²≤0：即k=4
現在只要判斷e^x（2x+2）≥4x+2是否恒成立，
設ϕ（x）=e^x（2x+2）-（4x+2），
因為：ϕ′（x）=e^x（2x+4）-4，
當x＞0時，e^x＞1，2x+4＞4，ϕ′（x）＞0，
當x＜0時，e^x（2x+2）＜2e^x＜2，ϕ′（x）＜0，
所以ϕ（x）≥ϕ（0）=0，即e^x（2x+2）≥4x+2恒成立，
所以函數f（x）與函數g（x）=-x²+4x+2存在“分界線”．

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．