Question

【題目】已知橢圓的頂點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為，離心率.

（1）求橢圓的方程；

（2）若點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作互相垂直的兩條射線,與橢圓分別交于不同的兩點(diǎn)不與左、右頂點(diǎn)重合) ，試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過(guò)定點(diǎn).

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)題意列出的方程組結(jié)合，求出的值；（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，求出兩點(diǎn)坐標(biāo)，可得其與的交點(diǎn)，當(dāng)當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，整理方程組可得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)及橢圓的右頂點(diǎn)，由向量的數(shù)量積坐標(biāo)表示出的關(guān)系，代入直線方程即可求得直線經(jīng)過(guò)的定點(diǎn).

試題解析：（1）由題意可知:， 解得：，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）設(shè)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，軸,為等腰直角三角形，

,又,又不與左、右頂點(diǎn)重合，解得，此時(shí)，直線過(guò)點(diǎn).

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為,由方程組,得,整理得,則.由已知，且橢圓的右頂點(diǎn)為，所以，，即，整理得，解得或均滿足成立.當(dāng)時(shí)，直線的方程過(guò)頂點(diǎn)，與題意矛盾舍去.當(dāng)時(shí)，直線的方程過(guò)定點(diǎn)，故直線過(guò)定點(diǎn)，且定點(diǎn)是.