Question

【題目】已知圓心為的圓，滿足下列條件：圓心位于軸正半軸上，與直線相切，且被軸截得的弦長為，圓的面積小于13.

（1）求圓的標準方程；

（2）若點，點是圓上一點，點是的重心，求點的軌跡方程；

（3）設過點的直線與圓交于不同的兩點，，以，為鄰邊作平行四邊形.是否存在這樣的直線，使得直線與恰好平行？如果存在，求出的方程；如果不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）利用點到直線的距離公式，結合勾股定理，建立方程，根據圓C的面積小于13，即可求圓C的標準方程；（2）設點的坐標為，點的坐標為，由重心坐標公式得到，結合，代入得到軌跡方程；（3）分類討論，設出直線方程與圓的方程聯立，利用判別式大于0得到或利用韋達定理以及中點坐標公式得到中點坐標為，由，則，解得，即可得出結論．

（1）設圓：，由題意知，

解得或.

又∵，∴，∴圓的標準方程為.

（2）設點的坐標為，點的坐標為，由已知得：

，即，又，

所以，即為所求.

（3）當斜率不存在時，直線的方程為，不滿足題意.

當斜率存在時，設直線的方程為，，.

又∵直線與圓相交于不同的兩點，聯立，消去得.

∴，解得或.

，.

∴中點坐標為.

在平行四邊形中，則，

由于，則，∴，解得.

但，假設不成立.∴不存在這樣的直線.