Question

已知幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．

（1）求異面直線與所成角的余弦值；
（2）求二面角的正弦值；
（3）求此幾何體的體積的大小

Answer 1

(1)異面直線與所成的角的余弦值為．
(2)二面角的的正弦值為．
(3)幾何體的體積為16．

試題分析：(1)先確定幾何體中的棱長, ，通過取的中點，連結，
則，∴或其補角即為異面直線與所成的角． 在中即可解得的余弦值.
(2) 因為二面角的棱為，可通過三垂線法找二面角，由已知平面，過作交于，連．可得平面，從而，∴為二面角的平面角． 在中可解得角的正弦值.
（3）該幾何體是以為頂點，為高的，為底的四棱錐，所以
此外也可以以為原點，以所在直線為軸建立空間直角坐標系來解答.
試題解析：（1）取的中點是，連結，
則，∴或其補角即為異面直線與所成的角．
在中，，．∴．
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）因為平面，過作交于，連．
可得平面，從而，
∴為二面角的平面角． 
在中，，，，
∴．∴．
∴二面角的的正弦值為．
（3），∴幾何體的體積為16．
方法2：（1）以為原點，以CA，CB，CE所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系．
則A（4，0，0），B（0，4，0），D（0，4，2），E（0，0，4）
，，∴，
∴異面直線與所成的角的余弦值為．
（2）平面的一個法向量為，設平面ADE的一個法向量為，
所以，，
則， ∴
從而，，
令，則，，
∴二面角的的正弦值為．
（3），∴幾何體的體積為16．