Question

【題目】已知曲線的極坐標方程是，以極點為原點，極軸為軸非負半軸建立平面直角坐標系，直線的參數方程為（為參數）．

（1）寫出曲線的直角坐標方程和直線的普通方程；

（2）在（1）中，設曲線經過伸縮變換得到曲線，設曲線上任意一點為，當點到直線的距離取最大值時，求此時點的直角坐標．

Answer 1

【答案】（1），；（2）．

【解析】

（1）由可將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程，在直線的參數方程中消去參數可將直線的參數方程化為普通方程；

（2）利用伸縮變換求得曲線的普通方程，進而可得出曲線的參數方程，設點，利用點到直線的距離公式結合輔助角公式、正弦函數的有界性可求得點到直線的距離的最大值，并求出對應的點的坐標.

（1）將曲線的極坐標方程化為，由，

所以，曲線的直角坐標方程為.

在直線的參數方程中消去參數得，

所以，直線的普通方程為；

（2）由伸縮變換得帶入圓的方程得，

化簡得曲線，其參數方程為（為參數，且），

設點，

點到直線距離為：

，

，則，所以，當時，即當時，

取最大值，即，

此時，點的坐標為.