Question

若B={x|x²-3x+2＜0}，是否存在實數a，使A={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}且A∩B=A？請說明你的理由．

Answer 1

分析：對于不等式x²-（a+a²）x+a³＜0，用因式分解的方法來解（x-a）（x-a²）＜0好．對于條件A∩B=A，理解為A是B的子集．

解答：解：∵B={x|1＜x＜2}，若存在實數a，使A∩B=A，
則A={x|（x-a）（x-a²）＜0}．
（1）若a=a²，即a=0或a=1時，
此時A={x|（x-a）²＜0}=∅，滿足A∩B=A，∴a=0或a=1；
（2）若a²＞a，即a＞1或a＜0（舍）時，A={x|a＜x＜a²}，要
使A∩B=A，則

a≥1 a2≤2

?1≤a≤

2

，∴1＜a≤

2

；
（3）若a²＜a，即0＜a＜1時，A={x|a²＜x＜a}，
要使A∩B=A，則

a≤2 a2≥1

?1≤a≤2，∴a∈∅．
綜上所述，當1≤a≤

2

或a=0時滿足A∩B=A，
即存在實數a，使A={x|x²-（a+a²）x+a³＜0}且A∩B=A成立．

點評：解含有參數的不等式（x-a）（x-a²）＜0是本題的一個難點，應采用對a進行分類討論的方法，本題體現了分類討論的思想方法．