Question

已知函數f（x）=x-1+

a

ex

（a∈R，e為自然對數的底數）．
（1）若曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于直線y=x-1，求a的值；
（2）求函數f（x）的極值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,利用導數研究函數的極值

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）求出函數的導數，由兩直線平行的條件得，f′（1）=1，即可求出a；
（2）求出導數，對a討論，分a≤0，a＞0，求出單調區間，判斷極值．

解答： 解：（1）函數f（x）=x-1+

a

ex

的導數f′（x）=1-

a

ex

，
∵曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線平行于直線y=x-1，
∴f′（1）=1，即1-

a

e

=1，
∴a=0；
（2）導數f′（x）=1-

a

ex

，
①當a≤0時，f′（x）＞0，f（x）是R上的增函數，無極值；
②當a＞0時，e^x＞a時即x＞lna，f′（x）＞0；e^x＜a，即x＜lna，f′（x）＜0，
故x=lna為f（x）的極小值點，且極小值為lna-1+1=lna，無極大值．
綜上，a≤0時，f（x）無極值；a＞0時，f（x）有極小值lna，無極大值．

點評：本題主要考查導數在函數中的綜合應用，求切線方程和求極值，同時考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．