Question

如圖，O是坐標原點，已知三點E（0，3），F（0，1），G（0，-1），直線L：y=-1，M是直線L上的動點，H．P是坐標平面上的動點，且

FH

=

HM

，

PM

=λ

EG

，

PH

•

FM

=0．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點E的直線m與點P的軌跡交于相異兩點A．B，設向量

FA

與

FB

夾角為θ，且

3π

4

≤θ＜π，求直線m斜率的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據且

FH

=

HM

，

PM

=λ

EG

，

PH

•

FM

=0，點P在直線x=a上，由拋物線定義，動點P的軌跡是以F為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，求出動點P 軌跡方程；（Ⅱ）直線與拋物線相交，聯立方程，利用偉大定理，尋找向量

FA

與

FB

夾角為θ的余弦值，求出直線m斜率的取值范圍．

解答：解：（1）設P（x，y），M（a，0），∵

PM

=λ

EG

，
∴PM∥y軸，
∴點P在直線x=a上．
又|

FH|

= |

HM

|，

PH

•

FM

 =0，
∴PH⊥FM，點P在線段FM的垂直平分線上，由拋物線定義，動點P的軌跡是以F為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，
∴動點P 軌跡方程是x²=4y；
（2） 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程：y=kx+3，把它代入x²=4y，得
x²-4kx-12=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12，
y₁+y₂

X12+X22

4

(X1+X2) 2-2X1X2

4

=4k²-6，y₁y₂

(X1X2) 2

16

=9．
設AB在x軸的射影是A₁B₁，

FA

•

FB

=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
|

FA

|•|

FB

|=|FA₁|•|FB₁|=（y₁+1）•（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1，
∴cosθ=

FA • FB

| FA || FB |

=

1-k2

1+k2

≤cos

3π

4

≤-

2

2

，解得|k|≥1+

2

∴k∈（-∞，-1-

2

]∪[1+

2

，+∞）

點評：考查平面向量與解析幾何的結合，體現了向量的工具性，考查了拋物線的定義和直線與拋物線的位置關系，在求解過程中，韋達定理的應用體現了方程的思想，和整體代換的思想方法，屬中檔題．