Question

如圖，O是坐標原點，已知三點E（0，3），F（0，1），G（0，-1），直線L：y=-1，M是直線L上的動點，H．P是坐標平面上的動點，且．
（Ⅰ）求動點P的軌跡方程；
（Ⅱ）過點E的直線m與點P的軌跡交于相異兩點A．B，設向量夾角為θ，且，求直線m斜率的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據且，點P在直線x=a上，由拋物線定義，動點P的軌跡是以F為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，求出動點P 軌跡方程；（Ⅱ）直線與拋物線相交，聯立方程，利用偉大定理，尋找向量夾角為θ的余弦值，求出直線m斜率的取值范圍．
解答：解：（1）設P（x，y），M（a，0），∵，
∴PM∥y軸，
∴點P在直線x=a上．
又，，
∴PH⊥FM，點P在線段FM的垂直平分線上，由拋物線定義，動點P的軌跡是以F為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，
∴動點P 軌跡方程是x²=4y；
（2） 設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的方程：y=kx+3，把它代入x²=4y，得
x²-4kx-12=0，
x₁+x₂=4k，x₁x₂=-12，
y₁+y₂=4k²-6，y₁y₂=9．
設AB在x軸的射影是A₁B₁，
=（x₁，y₁-1）•（x₂，y₂-1）=x₁x₂+y₁y₂-（y₁+y₂）+1
||•||=|FA₁|•|FB₁|=（y₁+1）•（y₂+1）=y₁y₂+（y₁+y₂）+1，
∴cosθ==≤cos≤-，解得|k|≥1+
∴k∈（-∞，-1-]∪[1+，+∞）
點評：考查平面向量與解析幾何的結合，體現了向量的工具性，考查了拋物線的定義和直線與拋物線的位置關系，在求解過程中，韋達定理的應用體現了方程的思想，和整體代換的思想方法，屬中檔題．