Question

已知函數f（x）=a^x+log_ax，（a＞0，且a≠1）的定義域為[1，2]．
（1）若[f（x）]_min=5，求實數a的值；
（2）若f（a）=5，求實數a的值；
（3）是否存在實數a，使得f（x）＜a²恒成立？若存在求出a的值，若不存在請說明理由．

Answer 1

分析：（1）分類討論a＞1以及0＜a＜1時的最小值，進而得到實數a的值；
（2）由f（a）=5，構造關于a的方程，進而根據函數的單調性，解方程求出實數a的值；
（3）根據（1）中所得函數的單調性，分別構造關于a的不等式，解不等式后，綜合討論結果可得答案．

解答：解：（1）當0＜a＜1時，f（x）在[1，2]上單調遞減，
[f（x）]_min=f（2）=a²+log_a2＜a²＜1，不符合要求
當a＞1時，f（x）在[1，2]上單調遞增，
[f（x）]_min=f（1）=a+log_a1=a=5；
∴a=5．…．（3分）
（2）由f（a）=5，得a^a+log_aa=5，即a^a=4，
兩邊取以2為底的對數得alog₂a=2
即log₂a=

2

a

，
令g（x）=log₂x-

2

x

，則g（x）在[0，+∞）上單調遞增，
所以g（x）至多有一個零點，又g（2）=0，
所以a=2．…．（6分）
（3）若f（x）＜a²恒成立
則f（x）_max＜a²，…．（7分）
當0＜a＜1時，f（x）在[1，2]上單調遞減，
f（x）_max=f（1）=a+log_a1=a＜a²，
解得a＞1或a＜0，滿足要求的a不存在；…．（8分）
當a＞1時，f（x）在[1，2]上單調遞增，
f（x）_max=f（2）=a²+log_a2＜a²
即log_a2＜0
解得0＜a＜1，滿足要求的a不存在；…．（9分）
綜上：滿足要求的a不存在．…．（10分）

點評：本題主要考查對數函數的值域問題．解決對數函數的題目時，一定要討論其底數和1的大小關系，避免出錯．