Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的離心率e=

2 3

3

，直線l過A（a，0），B（0，-b）兩點，原點O到直線l的距離是

3

2

．
（1）求雙曲線的方程；
（2）過點B作直線m交雙曲線于M、N兩點，若

OM

•

ON

=-23，求直線m的方程．

Answer 1

分析：（1）先求出直線l的方程，再點到直線的距離公式建立關于a，b，c的方程，解這個方程求出a，b，從而得到雙曲線的方程．
（2）設m方程為y=kx-1，則點M、N坐標（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程組

y=kx-1 x2 3 -y2=1

的解，消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．由根與系數關系和題設條件推導出k的值，從而求出直線m的方程．

解答：解：（1）依題意，l方程

x

a

+

y

-b

=1，即bx-ay-ab=0，由原點O到l的距離為

3

2

，得

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

，又e=

c

a

=

2 3

3

，
∴b=1，a=

3

．
故所求雙曲線方程為

x2

3

-y²=1．
（2）顯然直線m不與x軸垂直，設m方程為y=kx-1，
則點M、N坐標（x₁，y₁），（x₂，y₂）是方程組

y=kx-1 x2 3 -y2=1

的解，
消去y，得（1-3k²）x²+6kx-6=0．①
依題意，1-3k²≠0，由根與系數關系，
知x₁+x₂=

6k

3k2-1

，x₁x₂=

6

3k2-1

OM

•

ON

=（x₁，y₁）•（x₂，y₂）=x₁x₂+y₁y₂
=x₁x₂+（kx₁-1）（kx₂-1）
=（1+k²）x₁x₂-k（x₁+x₂）+1
=

6(1+k2)

3k2-1

-

6k2

3k2-1

+1=

6

3k2-1

+1．
又∵

OM

•

ON

=-23，
∴

6

3k2-1

+1=-23，k=±

1

2

，
當k=±

1

2

時，方程①有兩個不相等的實數根，
∴方程為y=

1

2

x-1或y=-

1

2

x-1．

點評：本題是雙典線的綜合題，重點考查雙曲線的性質及其應用，具有一定的難度．解題時要注意根與系數的關系的靈活運用．