Question

平面直角坐標系xOy中，已知A₁（x₁，y₁），A₂（x₂，y₂），…，A_n（x_n，y_n）是直線l：y=kx+b上的n個點
（n∈N^*，k、b均為非零常數）．
（1）若數列{x_n}成等差數列，求證：數列{y_n}也成等差數列；
（2）若點P是直線l上一點，且，求a₁+a₂的值；
（3）若點P滿足，我們稱是向量，，…，的線性組合，{a_n}是該線性組合的系數數列．當是向量，，…，的線性組合時，請參考以下線索：
①系數數列{a_n}需滿足怎樣的條件，點P會落在直線l上？
②若點P落在直線l上，系數數列{a_n}會滿足怎樣的結論？
③能否根據你給出的系數數列{a_n}滿足的條件，確定在直線l上的點P的個數或坐標？
試提出一個相關命題（或猜想）并開展研究，寫出你的研究過程．[本小題將根據你提出的命題（或猜想）的完備程度和研究過程中體現的思維層次，給予不同的評分]．

Answer 1

解：（1）證明：設等差數列{x_n}的公差為d，因為y_n+1-y_n=（kx_n+1+b）-（kx_n+b）=k（x_n+1-x_n）=kd是常數，
∴數列{y_n}等差數列．
（2）因為點P、A₁和A₂都是直線l上一點，故有=λ（其中λ≠-1）；
于是，=+=+=+λ；
∴=+λ，即=+；
令a₁=，a₂=，則有a₁+a₂=1．
（3）假設存在點P（x，y）滿足=a₁+a₂+…+a_n，
則有x=a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n，且當i+j=n+1時，恒有a_i=a_j，
所以有x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，
所以2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+…+a_n（x_n+x₁），
又因為數列{x_n}成等差數列，于是x₁+x_n=x₂+x_n-1=…=x_n+x₁，
所以，2x=（a₁+a₂+…+a_n）（x₁+x_n）=x₁+x_n；
故x=，同理y=，且點P在直線l上（是A₁、A_n的中點），
即存在點P滿足要求．
分析：（1）若設等差數列{x_n}的公差為d，易得y_n+1-y_n為常數，即證數列{y_n}是等差數列；
（2）由點P、A₁和A₂都是直線l上的點，知=λ（其中λ≠-1）；由向量的線性運算，得=+=+=+λ；整理可得=+；即得a₁+a₂的值；
（3）設存在點P（x，y）滿足=a₁+a₂+…+a_n，則x=a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n，當i+j=n+1時，有a_i=a_j，所以x=a_nx₁+a_n-1x₂+…+a₂x_n-1+a₁x_n，則2x=a₁（x₁+x_n）+a₂（x₂+x_n-1）+…+a_n（x_n+x₁），由數列{x_n}是等差數列，則x₁+x_n=x₂+x_n-1=…=x_n+x₁，可得2x，從而得x，同理得y；即得點P在直線l上．
點評：本題考查了等差數列以及平面向量知識的綜合應用，屬于較難的題目；解題時須要認真審題，細心解答，以免出錯．