Question

【題目】已知函數f（x）=2 sin cos ﹣2sin2 （ω＞0）的最小正周期為3π．
（I）求函數f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C所對的邊，a＜b＜c， a=2csinA，并且f（ A+ ）= ，求cosB的值．

Answer 1

【答案】解：（I）由三角函數公式化簡可得
f（x）=2 sin cos ﹣2sin2
= sinωx﹣1+cosωx
=2sin（ωx+ ）﹣1，
∵函數f（x）的最小正周期為T=3π，
∴ω= = = ，
∴f（x）=2sin（ x+ ）﹣1，
由2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ 可得3kπ﹣π≤x≤3kπ+ ，
∴函數f（x）的單調遞增區間為[3kπ﹣π，3kπ+ ]，k∈Z；
（Ⅱ）∵f（ A+ ）= ，∴2sin（A+ + ）﹣1= ，
∴2sin（A+ ）﹣1= ，∴2cosA﹣1= ，
解得cosA= ，∴sinA= = ，
再由 a=2csinA和正弦定理可得 sinA=2sinCsinA，
約掉sinA可得sinC= ，∴C= 或C= ，
又∵a＜b＜c，∴C為最大角，C= 矛盾，
故C= ，cosC=﹣ ，
∴cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC
= ﹣ =
【解析】（I）由三角函數公式化簡可得f（x）=2sin（ωx+ ）﹣1，由周期公式可得ω，解2kπ﹣ ≤ x+ ≤2kπ+ 可得；（Ⅱ）由題意和已知數據可得cosA= ，進而可得sinA= ，再由 a=2csinA和正弦定理可得C= ，整體代入cosB=﹣cos（A+C）=sinAsinC﹣cosAcosC，計算可得．
【考點精析】利用正弦定理的定義對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知正弦定理:．