Question

如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）詳見解析；（3）二面角的余弦值.

試題分析：（1）利用折疊后點在平面內的射影點在棱上得到平面，從而得到，再結合即可證明平面，進而證明；（2）由（1）中的結論平面并結合平面與平面垂直的判定定理即可證明平面平面；（3）先作，連接，利用（1）中的結論平面得到，于是得到平面，于是得到為二面角的平面角，然后在直角三角形中計算，進而確定二面角的余弦值；另一種方法是利用空間向量法計算二面角的余弦值.
試題解析：（1）在平面上的射影在上，平面，
又平面，，
又，，平面，
又平面，；
（2）四邊形是矩形，，
由（1）知，，平面，
又平面，平面平面；
（3）平面，，在中，由，，得，，
過點作，垂足為點，連接，
由平面，，平面，，
為二面角的平面角，
又在和，，，；
另解：以點為坐標原點，以方向為軸，以方向為軸，以平行的方向為軸，建立空間直角坐標系，可知、、，得，，
設平面的法向量為，由，得，
而平面的法向量為，，
結合圖象可知二面角的余弦值為.