Question

探究函數f(x)=x+

4

x

，x∈（0，+∞）的最小值，并確定相應的x的值，列表如下：

x	…	1 4	1 2	1	3 2	2	8 3	4	8	16	…
y	…	16.25	8.5	5	25 6	4	25 6	5	8.5	16.25	…

請觀察表中y值隨x值變化的特點，完成下列問題：
（1）若x₁x₂=4，則f（x₁）

=

f（x₂）（請填寫“＞，=，＜”號）；若函數f(x)=x+

4

x

，（x＞0）在區間（0，2）上遞減，則在區間

（2，+∞）

上遞增；
（2）當x=

2

時，f(x)=x+

4

x

，（x＞0）的最小值為

4

；
（3）試用定義證明f(x)=x+

4

x

，在區間（0，2）上單調遞減．

Answer 1

分析：（1）根據x₁x₂=4，將x₁=

4

x2

代入函數解析式，可得結論，根據表中y值隨x值變化的特點可得函數的增區間；
（2）根據表中y值隨x值變化的特點可得函數的最值；
（3）證明單調性的步驟：取值、作差、變形、定號、下結論，設0＜x₁＜x₂＜2，然后判定f（x₁）與f（x₂）的大小，屬于中檔題．

解答：解：（1）∵x₁x₂=4，f（x₁）=f（

4

x2

）=x₂+

4

x2

=f（x₂）
故答案為：=，（2，+∞） （左端點可以閉）     …（2分）
（2）根據（1）可知x=2時，y_min=4           …（6分）
（3）設0＜x₁＜x₂＜2，則f（x₁）-f（x₂）=(x1+

4

x1

)-(x2+

4

x2

)=(x1-x2)+(

4

x1

-

4

x2

)
=(x1-x2)+

4x2-4x1

x1x2

=(x1-x2)(

x1x2-4

x1x2

)…（9分）
∵0＜x₁＜x₂＜2∴x₁-x₂＜0，0＜x₁x₂＜4∴x₁x₂-4＜0
∴f（x₁）-f（x₂）＞0∴f（x₁）＞f（x₂）
∴f（x）在區間（0，2）上遞減              …（12分）

點評：本題主要考查了函數的最值及其幾何意義，以及函數單調性的判斷與證明，同時考查了計算能力，屬于中檔題．