Question

已知a∈R，函數f（x）=x|x-a|．
（Ⅰ）當a=2時，作出圖形并寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當a=-2時，求函數y=f（x）在區間(-

2

-1，2]的值域；
（Ⅲ）設a≠0，函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，請分別求出m、n的取值范圍（用a表示）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x|x-2|=

x2-2x，x≥2 -x2+2x，x＜2

，作出圖象即可寫出函數y=f（x）的單調遞增區間；
（Ⅱ）當a=-2時，f（x）=x|x+2|=

x2+2x，x≥-2 -x2-2x，x＜-2

，可求得函數y=f（x）在區間(-

2

-1，2]的值域為[-1，8]；
（Ⅲ）設a≠0，f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，函數f（x）在（m，n）上既有最大值又有最小值，須m＜

a

2

，n＞a．

解答：解：（Ⅰ）當a=2時，f（x）=x|x-2|=

x2-2x，x≥2 -x2+2x，x＜2

，作出圖象，

由圖可知，函數y=f（x）的單調遞增區間為（-∞，1]，[2，+∞）；
（Ⅱ）當a=-2時，f（x）=x|x+2|=

x2+2x，x≥-2 -x2-2x，x＜-2

，

∵f（-1-

2

）=-(-1-

2

)2-2（-1-

2

）=-1，f（-1）=（-1）²+2×（-1）=-1，f（2）=4+4=8，
∴函數y=f（x）在區間(-

2

-1，2]的值域為[-1，8]；
（Ⅲ）∵a≠0，f（x）=x|x-a|=

x2-ax，x≥a -x2+ax，x＜a

，函數f（x）有兩個零點：0和a，
若a＞0，在（-∞，

a

2

）上單調遞增，在（

a

2

，a）上單調遞減，在（a，+∞）上單調遞增．
為使在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，必須0≤m＜

a

2

，n≤

1+ 2

2

a．
若a＜0，在（-∞，a）上單調遞增，在（a，

a

2

）上單調遞減，在（

a

2

，+∞）上單調遞增．
為使在區間（m，n）上既有最大值又有最小值，必須m≥

1+ 2

2

a，n≤0．

點評：本題考查帶絕對值的函數，著重考查分段函數的圖象與性質，考查函數的單調性，最值，考查化歸思想，數形結合思想，分類討論思想的綜合運用，屬于難題．