Question

設△ABC的內角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a＝1，b＝2，cosC＝. (1)求△ABC的周長；    (2)求cos(A－C)的值．

Answer 1

(1)∵c²＝a²＋b²－2abcosC＝1＋4－4×＝4，
∴c＝2，∴△ABC的周長為a＋b＋c＝1＋2＋2＝5.
(2)∵cosC＝，∴sinC＝＝＝，
∴sinA＝＝＝.
∵a<c，∴A<C，故A為銳角，
∴cosA＝＝＝.
∴cos(A－C)＝cosAcosC＋sinAsinC＝×＋×＝.   

（1）借助余弦定理求出邊c，直接求周長即可.（2）根據兩角差的余弦公式需要求sinC,sinA,cosA,由正弦定理即可求出sinA,進而可求出cosA.sinC可由cosA求出，問題得解.