Question

已知函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/91/6/opi5k1.png" style="vertical-align:middle;" />，且,，
當(dāng)，且，時(shí)恒成立.
（1）判斷在上的單調(diào)性；
（2）解不等式；
（3）若對(duì)于所有，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）將賦予，即將轉(zhuǎn)化為，根據(jù)可知，即，根據(jù)單調(diào)性的定義可得函數(shù)在上的單調(diào)性。（2）由（1）知在上是單調(diào)增函數(shù)，根據(jù)單調(diào)性可得自變量的大小關(guān)系，同時(shí)自變量應(yīng)在所給的定義域內(nèi)，有以上不等式組組成的不等式組可得所求不等式的解集。（3）恒成立即恒成立，用函數(shù)的單調(diào)性可求其最值。將問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次不等式恒成立問題，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic5/tikupic/d8/c/1emrt3.png" style="vertical-align:middle;" />，又可將上式看成關(guān)于的一次不等式，討論單調(diào)性即可得出。
試題解析：解：（1）∵當(dāng)，且，時(shí)恒成立，
∴，  ∴ ，    2分
∴時(shí)，∴ ，
時(shí)，∴     4分
∴在上是單調(diào)增函數(shù)        5分
（2）∵在上是單調(diào)增函數(shù)，且
∴ ，    7分
解得     8分
故所求不等式的解集     9分
（3）∵在上是單調(diào)增函數(shù)，，
∴，     10分
若對(duì)于所有，恒成立，
則，恒成立，    11分
即，恒成立，
令，
要使在恒成立，
則必須，解得，或    13分
則的取值范圍是    14分
考點(diǎn)：1函數(shù)單調(diào)性的定義；2用單調(diào)性求函數(shù)的最值。