Question

定義在R上的偶函數f（x），當x∈[1，2]時，f（x）＜0且f（x）為增函數，給出下列四個結論：①f（x）在[-2，-1]上單調遞增；②當x∈[-2，-1]時，有f（x）＜0；③f（-x）在[-2，-1]上單調遞減；④|f（x）|在[-2，-1]上單調遞減．其中正確的結論是（　　）

A．①③

B．②③

C．②④

D．③④

Answer 1

分析：根據偶函數的圖象關于y軸對稱，結合已知函數的單調性，逐一加以研究．偶函數的圖象關于y軸對稱，x∈[1，2]時，f（x）為增函數，所以f（x）在[-2，-1]上單調遞減；②x∈[1，2]時，f（x）＜0，所以當x∈[-2，-1]時，有f（x）＜0；③f（-x）=f（x）．由①知f（x）在[-2，-1]上單調遞減；④|f（x）|的圖象是將f（x）下方的圖象，翻折到x軸上方，由于f（x）在[-2，-1]上單調遞減，所以|f（x）|在[-2，-1]上單調遞增，故可得結論．

解答：解：①偶函數的圖象關于y軸對稱，x∈[1，2]時，f（x）為增函數，所以f（x）在[-2，-1]上單調遞減，故①錯誤；
②偶函數的圖象關于y軸對稱，x∈[1，2]時，f（x）＜0，所以當x∈[-2，-1]時，有f（x）＜0，故②正確；
③∵函數f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）．由①知f（x）在[-2，-1]上單調遞減，故③正確；
④|f（x）|的圖象是將f（x）下方的圖象，翻折到x軸上方，由于f（x）在[-2，-1]上單調遞減，所以|f（x）|在[-2，-1]上單調遞增，故④錯誤
綜上可知，正確的結論是②③
故選B．

點評：本題以偶函數為載體，綜合考查函數的奇偶性與單調性，考查偶函數圖象的對稱性，需要逐一驗證，屬于基礎題．