Question

【題目】若函數在處取得極大值，則實數的取值范圍是_____．

Answer 1

【答案】

【解析】

求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間，從而求出函數的極值點，結合已知條件，判斷即可．

f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）＝+2ax﹣（a+2）＝，

①0＜a＜2時，＜，

令f′（x）＞0，解得：x＜或x＞，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜，

∴f（x）在（0，）遞增，在（，）遞減，在（，+∞）遞增，

∴函數f（x）在x=處取得極大值，符合題意，

②a＝2時，f′（x）≥0，f（x）遞增，無極值，

③a＞2時，＞，

令f′（x）＞0，解得：x＞或x＜，

令f′（x）＜0，解得：＜x＜，

∴f（x）在（0，）遞增，在（，）遞減，在（，+∞）遞增，

∴函數f（x）在x＝處取得極大值，不符合題意，

④a<0時，>0>

令f′（x）＞0，解得：0<x<,

令f′（x）＜0，解得：x>,

∴f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，

∴函數f（x）在x=處取得極大值，符合題意.

⑤a=0時，f′（x）=0的根x=，

∴f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，

∴函數f（x）在x=處取得極大值，符合題意.

綜上，a∈（，2），

故答案為：（-，2）．