Question

在區間[0，1]上任意取兩個實數a，b，則函數f(x)=

1

2

x3+ax-b在區間[-1，1]上有且僅有一個零點的概率為（　　）

• A、

  1

  8

• B、

  1

  4

• C、

  3

  4

• D、

  7

  8

Answer 1

分析：由題意知本題是一個幾何概型，根據所給的條件很容易做出試驗發生包含的事件對應的面積，而滿足條件的事件是函數f（x）=

1

2

x³+ax-b在區間[-1，1]上有且僅有一個零點，看出函數是一個增函數，有零點等價于在自變量區間的兩個端點處函數值符號相反，得到條件，做出面積，根據幾何概型概率公式得到結果．

解答：解析：函數f(x)=

1

2

x3+ax-b在區間[-1，1]上有且僅有一個零點，
所以f（-1）f（1）＜0，即b2＜(a+

1

2

)2，
也就是b＜a+

1

2

，
故a，b滿足

0≤a≤1 0≤b≤1 a-b+ 1 2 ＞0

圖中陰影部分的面積為S1=1-

1

2

×

1

2

×

1

2

=

7

8

所以，函數f(x)=

1

2

x3+ax-b在區間[-1，1]上有且僅有一個零點的概率為P=

S1

S

=

7

8

故選D．

點評：本題是一個幾何概型，對于這樣的問題，一般要通過把試驗發生包含的事件同集合結合起來，根據集合對應的圖形做出面積，用面積的比值得到結果．