Question

函數的定義域為D，若存在閉區間[a，b]D，使得函數滿足：(1)在[a，b]內是單調函數；(2)在[a，b]上的值域為[2a，2b]，則稱區間[a，b]為y=的“美麗區間”．下列函數中存在“美麗區間”的是          . (只需填符合題意的函數序號) 
①、；        ②、；
③、；        ④、.

Answer 1

①③④

解析試題分析：函數中存在“美麗區間”的定義可知：①在[a，b]內是單調增函數；
則，解得∴f（x）=x²（x≥0），若存在“美麗區間”[0，2]，∴f（x）=x²（x≥0），若存在“美麗區間”[0，2]；②f（x）=e^x（x∈R），若存在“美麗區間”[a，b]，則，所以，構建函數g（x）=e^x-2x，∴g′（x）=e^x-2，∴函數在（-∞，ln2）上單調減，在（ln2，+∞）上單調增，∴函數在x=ln2處取得極小值，且為最小值．∵g（ln2）=2-2ln2＞0，∴g（x）＞0恒成立，∴e^x-2x=0無解，故函數不存在“美麗區間”；③在上單調遞減，若存在“美麗區間”[a，b]，則，則，故存在；④，，若存在“倍值區間”[a，b]⊆[0，1]，則∴a=0，b=1，若存在“美麗區間”[0，1]；故存在“美麗區間”的是①③④.
考點：1.函數的值域 ；2.函數的單調性