Question

【題目】已知等差數列{an}中，a1=﹣2，公差d=3；數列{bn}中，Sn為其前n項和，滿足：2nSn+1=2n（n∈N+）
（Ⅰ）記An= ，求數列An的前n項和S；
（Ⅱ）求證：數列{bn}是等比數列；
（Ⅲ）設數列{cn}滿足cn=anbn ， Tn為數列{cn}的前n項積，若數列{xn}滿足x1=c2﹣c1 ， 且xn= ，求數列{xn}的最大值．

Answer 1

【答案】（I）解：∵等差數列{an}中，a1=﹣2，公差d=3，
∴an=﹣2+3（n﹣1）=3n﹣5．
∴An= = = ，
∴數列An的前n項和S= + +…+
=
=﹣ ．
（II）證明：由2nSn+1=2n（n∈N+），可得 ．
當n=1時，a1=S1= ；
當n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1= = ．
當n=1時也成立．
∴ = ．
∴數列{bn}是等比數列，首項為 ，公比為 ．
（III）數列{cn}滿足cn=anbn= ．
數列{xn}滿足x1=c2﹣c1= = ．
當n≥2時，xn= = =cn+1﹣cn= = ．
當n=1時也成立．
當n≤3時，數列{xn}單調遞減；當n≥4時，數列{xn}單調遞增，但是xn＜0．
∴數列{xn}的最大值是
【解析】（I）利用等差數列的通項公式可得an=3n﹣5．利用裂項可得An= ，利用“裂項求和”可得數列An的前n項和S．（II）由2nSn+1=2n（n∈N+），可得 ．當n=1時，b1=S1= ；當n≥2時，bn=Sn﹣Sn﹣1 ． 利用等比數列的通項公式即可證明．（III）數列{cn}滿足cn=anbn= ．數列{xn}滿足x1=c2﹣c1= ．當n≥2時，xn= =cn+1﹣cn= ．當n≤3時，數列{xn}單調遞減；當n≥4時，數列{xn}單調遞增，但是xn＜0，即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解等比關系的確定的相關知識，掌握等比數列可以通過定義法、中項法、通項公式法、前n項和法進行判斷，以及對數列的前n項和的理解，了解數列{an}的前n項和sn與通項an的關系．