Question

定義在R上的函數f（x），如果存在函數g（x）=kx+b（k，b為常數），使得f（x）≥g（x）對一切實數x都成立，則稱g（x）是函數f（x）的一個“親密函數”，現有如下的命題：
（1）對于給定的函數f（x），其“親密函數”有可能不存在，也可能有無數個；
（2）g（x）=2x是f（x）=2^x，的一個“親密函數”；
（3）定義域與值域都是R的函數f（x），不存在“親密函數”．
其中正確的命題是（　�。�

A．（1）

B．（2）

C．（1）（2）

D．（1）（3）

Answer 1

分析：對于（1），若取f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），均滿足“親密函數”函數的定義，故函數f（x）的“親密函數”有無數個，而y=tanx，y=lgx無“親密函數”由此可判斷（1）
對于②，即x=

3

2

時，②錯；
對于③，如取f（x）=2x+3，即可看出其不符合，故錯．
抽象的背后總有具體的模型，我們可以通過具體的函數的研究，進行合理地聯想．

解答：解：對于（1），若f（x）=sinx，則g（x）=B（B＜-1），
均是它的一個親密函數，有無數個，
再如y=tanx，y=lgx就沒有親密函數，
∴命題（1）正確、
對于（2），∵當x=

3

2

時，g（

3

2

）=3，f（

3

2

）=

8

=2

2

，
∴f（x）＜g（x），
∴g（x）=2x不是f（x）=2^x的一個親密函數，故錯誤；
對于③如f（x）=2x+3存在一個親密函數y=2x+1，故錯誤；
故僅有（1）正確
故選A．

點評：本題是以抽象函數為依托，考查學生的創新能力，屬于較難題，抽象函數是相對于給出具體解析式的函數來說的，它雖然沒有具體的表達式，但是有一定的對應法則，滿足一定的性質，這種對應法則及函數的相應的性質是解決問題的關鍵．