Question

【題目】已知函數f（x）= ，若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0（e是自然對數的底數），對任意的m∈[﹣2，4]恒成立，則整數k的最小值是（ ）
A.2
B.3
C.4
D.5

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（﹣x）= = =﹣ =﹣f（x）， ∴函數f（x）是奇函數，
函數f（x）= ．定義域為R，函數f（x）在R上是增函數．
證明：設x1 ， x2是R內任意兩個值，且x1＜x2 ．
則 = ①．
又因為x1＜x2 ， 所以 ，又 ．
所以①＜0，即f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．
故f（x）是R上的增函數．
則不等式若不等式f（﹣2m2+2m﹣1）+f（8m+ek）＞0等價為若不等式f（8m+ek）＞﹣f（﹣2m2+2m﹣1）=f（2m2﹣2m+1），
即8m+ek＞2m2﹣2m+1，
即ek＞2m2﹣10m+1，
設g（m）=2m2﹣10m+1，則函數的對稱軸為m= = ，
則當m∈[﹣2，4]時，當m=﹣2時，函數g（m）取得最大值g（﹣2）=29，
即ek＞g（m）max=29，
則k＞ln29．
∵k是整數，
∴k的最小值是4，
故選：C．