Question

如圖，設(shè)平面α∩β=EF，AB⊥α，CD⊥α，垂足分別為B，D，若增加一個(gè)條件，就能推出BD⊥EF，現(xiàn)有：①AC⊥β；②AC與α，β所成的角相等；③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上；④AC∥EF，那么上述幾個(gè)條件中能成為增加的條件的序號(hào)是______（填上你認(rèn)為正確的所有序號(hào)）

Answer 1

①因?yàn)锳C⊥β，且EF?β所以AC⊥EF．
又AB⊥α且EF?α所以EF⊥AB．
因?yàn)锳C∩AB=A，AC?平面ACBD，AB?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以①可以成為增加的條件．
②AC與α，β所成的角相等，AC與EF 不一定，可以是相交、可以是平行、也可能垂直，所以EF與平面ACDB不垂直，所以就推不出EF與BD垂直．所以②不可以成為增加的條件．
③AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
因?yàn)镃D⊥α且EF?α所以EF⊥CD．
所以EF與CD在β內(nèi)的射影垂直，
AC與CD在β內(nèi)的射影在同一條直線上
所以EF⊥AC
因?yàn)锳C∩CD=C，AC?平面ACBD，CD?平面ACBD，所以EF⊥平面ACBD，
因?yàn)锽D?平面ACBD所以BD⊥EF．
所以③可以成為增加的條件．
④若AC∥EF則AC∥平面α所以BD∥AC所以BD∥EF．
所以④不可以成為增加的條件．
故答案為：①③．