Question

如圖，設平面AC和BD相交于BC，它們所成的一個二面角為45°，P為平面AC內的一點，Q為面BD內的一點，已知直線MQ是直線PQ在平面BD內的射影，并且M在BC上又設PQ與平面BD所成的角為β，∠CMQ=θ（0°＜θ＜90°），線段PM的長為a，求線段PQ的長．

Answer 1

分析：過點P作平面BD的垂線，垂足為R，由PQ與平面BD所成的角為β，要求PQ，可根據PQ=PR

1

sinβ

，故我們要先求PR值，而由二面角的平面角為45°，我們可得NR=PR，故我們要先根據MR=NR

1

sinθ

，及a²=PR²+MR²，求出NR的值．

解答：解：自點P作平面BD的垂線，垂足為R，
由于直線MQ是直線PQ在平面BD內的射影，
所以R在MQ上，過R作BC的垂線，設垂足為N，
則PN⊥BC（三垂線定理
因此∠PNR是所給二面角的平面角，所以∠PNR=45°
由于直線MQ是直線PQ在平面BD內的射影，所以∠PQR=β
在Rt△PNR中，NR=PRcot45°，所以NR=PR．
在Rt△MNR中，MR=NR

1

sinθ

=PR

1

sinθ

，
在Rt△PMR中，a2=PR2+MR2=PR2+

PR2

sin2θ

=PR2(1+

1

sin2θ

)，
又已知0°＜θ＜90°，所以PR=

asinθ

1+sin2θ

．
在Rt△PRQ中，PQ=PR

1

sinβ

=

asinθ

sinβ 1+sin2θ

．
故線段PQ的長為

asinθ

sinβ 1+sin2θ

．

點評：本題考查的知識點是平面與平面間的位置關系，二面角，解三角形，根據已知條件由未知的結論利用分析法尋求解題思路是解題的關鍵．