Question

設(shè)函數(shù)f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期為

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）若函數(shù)y=g（x）的圖象是由y=f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位長度得到，寫出y=g（x）的解析式及并求y=g（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對函數(shù)的解析式利用二倍角公式和兩角和的正弦公式進行整理，根據(jù)周期的值求出x的系數(shù)，寫出函數(shù)的解析式．
（II）根據(jù)函數(shù)的圖象的平移的原則，寫出新的函數(shù)的解析式，根據(jù)正弦曲線的單調(diào)區(qū)間寫出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間

解答：解：（I）f（x）=1+2sinωxcosωx+1+cos2ωx
=2+sin2ωx+cos2ωx
=2+

2

sin(2ωx+

π

4

)
 T=

2π

|2ω|

=

π

2

，ω＞0∴ω=2∴f(x)=2+

2

sin(4x+

π

4

)
（II）由y=f（x）的圖象向右平移

π

8

個單位長度得到
g(x)=2+

2

sin[4(x-

π

8

)+

π

4

]
=2+

2

sin(4x-

π

4

)
2kπ-

π

2

≤4x-

π

4

≤2kπ+

π

2

kπ

2

-

π

16

≤x≤

kπ

2

+

3π

16

∴x∈[

kπ

2

-

π

16

，

kπ

2

+

3π

16

]時，g(x)單調(diào)遞增

點評：本題看出三角函數(shù)的恒等變化和函數(shù)的圖象的平移，本題解題的關(guān)鍵是正確寫出函數(shù)的解析式，這是后面解題的依據(jù)，本題是一個中檔題目．