Question

設函數f（x）=

ax2+bx+c

（a＜0）的定義域為D，值域為A．
（1）若a=-1，b=2，c=3，則D=

[-1，3]

，A=

[0，+∞）

；
（2）若所有點（s，t）（s∈D，t∈A）構成正方形區域，則a的值為

-4

．

Answer 1

分析：（1）將a，b及c的值代入f（x）解析式，求出定義域與值域即可；
（2）由所有的點（s，f（t））（s，t∈D）構成一個正方形區域知，函數的定義域與值域的區間長度相等，利用二次函數的最值與二次方程的根，建立a，b，c關系式，求得答案．

解答：解：（1）將a=-1，b=2，c=3代入得：f（x）=

-x2+2x+3

≥0，即A=[0，+∞）；
∵-x²+2x+3≥0，即（x-3）（x+1）≤0，
解得：-1≤x≤3，即D=[-1，3]；
（2）設函數u=ax²+bx+c與x軸的兩個交點的橫坐標為：x₁，x₂，x₁＜x₂，
∵s為定義域的兩個端點之間的部分，
就是[x₁，x₂]f（t）（t∈D）就是f（x）的值域，也就是[0，f（x）_max]，
且所有的點（s，f（t））（s，t∈D）構成一個正方形區，
∴|x₁-x₂|=

umax

，
∵|x₁-x₂|=

2 b2-4ac

2a

=

4ac-b2 4a

，
∴

b2-4ac

a2

=

4ac-b2

4ac

，
∴a=-4．
故答案為：（1）[0，+∞）；[-1，3]；（2）-4

點評：此題考查了一元二次方程的解法，以及函數的值域，弄清題意是解本題的關鍵．