Question

f（x）=[x]（x-[x]），[x]為x的整數部分，且g（x）=x-1，則f（x）≤g（x）的解集為

 

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Answer 1

考點：函數的圖象,不等式比較大小

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：題干中出現了高斯函數（也稱取整函數），考慮就x的取值范圍進行討論，

解答： 解：①當0≤x＜1時，[x]=0，x-1＜0，
∴f（x）=0，g（x）=x-1＜0，即f（x）＞g（x），不合題意；
②當x≥1時，假設n≤x＜n+1，則[x]=n，f（x）=n（x-n），而g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n²+1＜（n-1）（n+1）-n²+1=0，
即x≥1滿足要求，
③當x＜0時，假設n≤x＜n+1＜0（n＜-1），則[x]=n，f（x）=n（x-n），而g（x）=x-1，
∴f（x）-g（x）=n（x-n）-x+1=（n-1）x-n²+1＞（n-1）（n+1）-n²+1=0，
即不滿足題意，
∴不等式f（x）≤g（x）的解集為[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞），

點評：本題涉及不等式中的比較大小問題，與高斯函數（也稱取整函數）相結合，有一定的難度，抓住高斯函數的特征，借助作差比較進行求解，