Question

已知D是函數y=f（x），x∈[a，b]圖象上的任意一點，A、B為該圖象的兩個端點，點C滿足

AC

=λ

AB

，

DC

•

i

=0，（其中0＜λ＜1，

i

是x軸上的單位向量），若|

DC

|≤T（T為常數）在區間[a，b]上恒成立，則稱y=f（x）在區間[a，b]上具有“T性質”．現有函數：
①y=2x+1；     ②y=

2

x

+1；     ③y=x²；       ④y=x-

1

x

．
則在區間[1，2]上具有“

1

4

性質”的函數為

 

．

Answer 1

分析：由

AC

=λ

AB

，可得C點在線段AB上，由

DC

•

i

=0，可得DC垂直x軸，即C，D兩點的橫坐標相等，分別求出|

DC

|的長度，判斷是否滿足|

DC

|≤

1

4

即可得到結論．

解答：解：由

AC

=λ

AB

，可得C點在線段AB上，由

DC

•

i

=0，可得DC垂直x軸，即C，D兩點的橫坐標相等．
①若y=f（x）=y=2x+1，x∈[1，2]，則A（1，3），B（2，5），函數y=f（x）的圖象即為線段AB，此時|

DC

|=0≤

1

4

恒成立，∴①滿足條件；
②若y=f（x）=

2

x

+1時，則A（1，3），B（2，2），線段AB的方程為y=-x+4，此時|

DC

|=-x+4-

2

x

-1=-x-

2

x

+3=3-（x+

2

x

）≤3-2

x• 2 x

=3-2

2

，
當且僅當x=

2

時，取等號，
∵3-2

2

＜

1

4

，∴|

DC

|≤

1

4

，∴②滿足條件．
③若f（x）=x²．則A（1，1），B（2，4），線段AB的方程為y=3x-2，此時|

DC

|=-x²+3x-2=-（x-

3

2

）²+

1

4

，當x=

3

2

取最大值

1

4

，
滿足條件|

DC

|≤

1

4

，∴③滿足條件；
④若f（x）=x-

1

x

．則A（1，0），B（2，

3

2

），線段AB的方程為y=

3

2

x-

3

2

，此時|

DC

|=x-

1

x

-

3

2

x+

3

2

=-

1

2

x-

1

x

+

3

2

=

3

2

-(

x

2

+

1

x

)≤

3

2

-2

x 2 • 1 x

=

3

2

-2×

2

2

=

3

2

-

2

，當且僅當x=

2

時，取等號，
∵

3

2

-

2

＜

1

4

，
∴滿足條件|

DC

|≤

1

4

，∴④滿足條件．
故答案為：①②③④．

點評：本題考查的知識點函數恒成立問題，函數的值域，正確理解“T性質”的定義，是解答的關鍵．綜合性較強，難度交大．