Question

已知O，N，P在△ABC所在平面內，且|

OA

|=|

OB

|=|

OC

|，

NA

+

NB

+

NC

=

0

，且

PA

•

PB

=

PB

•

PC

=

PC

•

PA

，則點O，N，P依次是△ABC的（　　）

A．重心 外心 垂心

B．重心 外心 內心

C．外心 重心 垂心

D．外心 重心 內心

Answer 1

分析：據O到三角形三個頂點的距離相等，得到O是三角形的外心，根據所給的四個選項，第一個判斷為外心的只有③④兩個選項，只要判斷第三個條件可以得到三角形的什么心就可以，移項相減，得到垂直，即得到P是三角形的垂心．

解答：解：∵|

.

OA

|=|

.

OB

|=|

.

OC

|，∴O到三角形三個頂點的距離相等，
∴O是三角形的外心，
根據所給的四個選項，第一個判斷為外心的只有C，D兩個選項，
∴只要判斷第三個條件可以得到三角形的內心或垂心就可以，
∵

.

PA

•

.

PB

=

.

PB

•

.

PC

=

.

PC

•

.

PA

，∴

PB

•（

PA

-

PC

）=0，

PB

•

CA

=0，∴

PB

⊥

CA

，
同理得到另外兩個向量都與邊垂直，
得到P是三角形的垂心，
故選C．

點評：本小題主要考查向量的數量積的運算法則、三角形五心等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想，本題是一個考查的向量的知識點比較全面的題目，把幾種三角形的心總結的比較全面，解題時注意向量的有關定律的應用．