Question

如果有窮數列滿足條件:
即,我們稱其為“對稱數列”.例如:數列1,2,3,3,2,1 和數列1,2,3,4,3,2,1都為 “對稱數列”。已知數列是項數不超過的“對稱數列”，并使得依次為該數列中連續的前項，則數列的前2009項和所有可能的取值的序號為  (     )
①②③④

A．①②③

B．②③④

C．①②④

D．①③④

Answer 1

D

由于新定義了對稱數列，且已知數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，故數列{b_n}的前2009項和需分情況討論，然后利用等比數列的前n項和定義直接可求得，從而判斷①②的正確與否；對于③④，先從等比數列的求和公式求出任意2m項的和，在利用減法得到需要的前2009項的和，即可判斷．
解：因為數列b_n是項數為不超過2m（m＞1，m∈N^*）的“對稱數列”，并使得1，2，2²，…，2^m-1依次為該數列中前連續的m項，
所以分數列的項數是偶數和奇數討論．
若數列含偶數項，則數列可設為1，2¹，2²，…，2^m-1，2^m-1，…，2²，2¹，1
當m-1≥2008時，S₂₀₀₉==2²⁰⁰⁹-1，所以①正確；
當1004≤m-1＜2008時，S₂₀₀₉=2=2^m+1-2^2m-2009-1，所以④正確；
若數列含奇數項，則數列可設為可設為1，2¹，2²，…，2^m-2，2^m-1，2^m-2…，2²，2¹，1
當m-1≥2008時，S₂₀₀₉=2²⁰⁰⁹-1；
當1004≤m-1＜2008時，所以S₂₀₀₉=2=3?2^m-1-2^2m-2010-1，所以③正確．
故選D．