Question

【題目】在直三棱柱 中，底面 是邊長為2的正三角形， 是棱 的中點，且 .

（1）試在棱 上確定一點 ，使 平面 ；
（2）當點 在棱 中點時，求直線 與平面 所成角的大小的正弦值。

Answer 1

【答案】
（1）解：

取AC邊中點為O

∵底面ABC是邊長為2的正三角形，∴

連接 ，∵ 是邊 的中點

∴ ，

所以可以建立以O為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸，

為z軸如圖所示的坐標系

則有 ， ， ， ，

， ， ，

設 ，則 ， ，

若 ，則有 ，

∴ 可得

即當 時，

（2）解：當點M棱 中點時：

∴ ， ，設平面 的一個法向量

∴ 令 ，得 ，

∴

設直線 與平面 所成角為 ，則

所以直線 與平面 所成角 的正弦值為

【解析】(1)根據題意建立以O為坐標原點，OB為x軸，OC為y軸， 為z軸如圖所示的坐標系，求出各個點的坐標再設出點M的坐標利用向量的數量積等于零求出t的值，進而得出CM的值。(2)根據題意建立空間直角坐標系，求出各個點的坐標進而求出各個向量的坐標，設出平面A’BM的法向量，由向量垂直的坐標運算公式可求出法向量，再利用向量的數量積運算公式求出余弦值再利用同角三角函數的關系式求出正弦值。