Question

已知

k 0

是矩陣A=

1   0 m  2

的一個特征向量．
（Ⅰ）求m的值和向量

k 0

相應(yīng)的特征值；
（Ⅱ）若矩陣B=

3  2 2  1

，求矩陣B^-1A．

Answer 1

考點：逆矩陣的意義,矩陣特征值的定義

專題：矩陣和變換

分析：（Ⅰ）設(shè)出特征值，根據(jù)矩陣與列向量的乘積，列出方程組求解即可；
（Ⅱ）首先求出|B|，然后求出B^-1，最后根據(jù)矩陣相乘的方法，求出陣B^-1A即可．

解答： 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，可知存在實數(shù)λ（λ≠0），
使得

1   0 m  2

k 0

=λ

k 0

，
即

k=λk mk=0

，
又因為k≠0，所以

λ=1 m=0

，
所以m=0，特征向量

k 0

相應(yīng)的特征值為1；
（Ⅱ）因為|B|=3×1-2×2=-1，
所以B^-1=

-1 2 2 -3

，
因此陣B^-1A=

-1 2 2 -3

1 0 0 2

=

-1 4 2 -6

．

點評：本題主要考查矩陣的性質(zhì)和應(yīng)用、特征值的計算，考查了矩陣的乘法、逆矩陣的求法，解題時要特別注意特征值與特征向量的計算公式的靈活運用．