Question

【題目】已知遞增數列{an}前n項和為Sn，且滿足a1＝3，4Sn﹣4n+1＝an2，設bn（n∈N*)且數列{bn}的前n項和為Tn

（Ⅰ)求證：數列{an}為等差數列；

（Ⅱ)若對任意的n∈N*，不等式λTnn（﹣1)n+1恒成立，求實數λ的取值范圍．

Answer 1

【答案】（Ⅰ)見解析（Ⅱ)（﹣∞，14)．

【解析】

（Ⅰ)當n≥2時，由4Sn﹣4n+1＝an2，類比可得4Sn﹣1﹣4（n﹣1)+1＝an﹣12，兩式相減，再化簡整理可得（an+an﹣1﹣2)（an﹣an﹣1﹣2)＝0，即an+an﹣1﹣2＝0，或an﹣an﹣1﹣2＝0，根據數列{an}是遞增數列可排除不符合題意的一項，即可證明結論；

（Ⅱ)先根據第（Ⅰ)題的結果計算出數列{an}的通項公式，以及數列{bn}的通項公式，然后運用裂項相消法計算出Tn的表達式，將Tn的表達式代入不等式，分離參變量可得λ（2n+3)[3n+2(﹣1)n+1]，構造數列{cn}：令cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1]，通過分別對數列{cn}的奇偶項的單調性進行分析可得數列{cn}的最小項的值，即可得到實數λ的取值范圍．

（Ⅰ)證明：依題意，當n≥2時，由4Sn﹣4n+1＝an2，可得

4Sn﹣1﹣4(n﹣1)+1＝an﹣12，

兩式相減，可得

4an﹣4＝an2﹣an﹣12，

化簡整理，得

(an+an﹣1﹣2)(an﹣an﹣1﹣2)＝0，

∴an+an﹣1﹣2＝0，或an﹣an﹣1﹣2＝0，

∵數列{an}是遞增數列，

∴an≥an﹣1，則an+an﹣1≥2an﹣1≥2a1＝2×3＝6，

∴an+an﹣1﹣2＝0不符合題意，

∴an﹣an﹣1﹣2＝0，即an﹣an﹣1＝2，

∴數列{an}是首項為3，公差為2的等差數列．

（Ⅱ)由（Ⅰ)知，an＝3+2(n﹣1)＝2n+1，n∈N*，

則bn()，

故Tn＝b1+b2+…+bn

()()()

()

()

，

將Tn代入不等式，可得λn（﹣1)n+1，

化簡整理，得

λ(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1]，

構造數列{cn}：令cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1]，則

①當n為奇數時，n+2為奇數，

cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1] (2n+3)(3n+2)，

cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2(﹣1)n+3] (2n+7)（3n+8)，

cn+2﹣cn(2n+7)(3n+8)(2n+3)(3n+2)

，

∵n為奇數，∴n2+2n﹣10，

∴cn+2﹣cn0，即cn+2cn，

∴數列{cn}的奇數項為單調遞增數列，即c1c3c5…

②當n為偶數時，n+2也為偶數，

cn(2n+3)[3n+2(﹣1)n+1]（2n+3)(3n﹣2)，

cn+2[2(n+2)+3][3(n+2)+2(﹣1)n+3] (2n+7)(3n+4)，

cn+2﹣cn(2n+7)(3n+4)(2n+3)(3n﹣2)

0，

故數列{cn}的偶數項為單調遞增數列，即c2c4c6…

∵c1＝25，c2＝14，c3＝33，c4，

∴λ{cn}min＝c2＝14，

∴實數λ的取值范圍為(﹣∞，14)．