Question

（2013•房山區一模）已知函數f（x）的定義域是D，若對于任意x₁，x₂∈D，當x₁＜x₂時，都有f（x₁）≤f（x₂），則稱函數f（x）在D上為非減函數．設函數f（x）在[0，1]上為非減函數，且滿足以下三個條件：
①f（0）=0；  
②f(

x

5

)=

1

2

f(x)；  
③f（1-x）=1-f（x）．
則f(

4

5

)=

1

2

，f(

1

12

)=

1

4

．

Answer 1

分析：由①③可知，f（1）=1，f（

1

2

）=

1

2

再由②即可求得f（

4

5

）=f（

1

5

）=

1

2

；再由②可求得f（

4

25

）=

1

4

=f（

1

25

），而

1

25

＜

1

12

＜

4

25

，利用函數f（x）在[0，1]上為非減函數，即可求得f（

1

12

）．

解答：解：∵f（0）=0，f（1-x）=1-f（x），
∴f（1）=1-f（0）=1，
又f（

x

5

）=

1

2

f（x），
∴f（

1

5

）=

1

2

f（1）=

1

2

，
∴f（

1

25

）=

1

4

；①
∵

1

5

+

4

5

=1，
∴由f（x）+f（1-x）=1得：f（

4

5

）=

1

2

；
∴f（

4

25

）=

1

4

．②
∵

1

25

＜

1

12

＜

4

25

，函數f（x）在[0，1]上為非減函數，
∴由①②知，f（

1

12

）=

1

4

．
故答案為：

1

2

，

1

4

．

點評：本題考查函數的值，著重考查觀察、分析、與轉化、運算與推理的能力，求得f（

4

25

）=

1

4

=f（

1

25

）是關鍵也是難點，屬于難題．兩邊夾的方式求值技巧不易掌握，要好好體會！