Question

已知橢圓w的中心在原點，焦點在x軸上，長軸長為4，離心率為

6

3

，△ABC的頂點A，B在橢圓w上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求橢圓w的方程；
（2）當AB邊通過坐標原點O時，求AB的長及△ABC的面積；
（3）當∠ABC=90°，且斜邊AC的長最大時，求AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先設出橢圓方程，根據題意可得a，根據離心率可得c，進而求得b，橢圓方程可得．
（Ⅱ）根據AB∥l，且AB邊通過點（0，0）進而可設AB所在直線的方程為y=x．設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．直線方程和橢圓方程聯立求得x，進而求得|AB|，根據AB邊上的高h等于原點到直線l的距離．求得三角形ABC的高，進而根據三角形面積公式可得答案．
（Ⅲ）設AB所在直線的方程為y=x+m，直線和橢圓方程聯立消去y，根據判別式大于0求得m的范圍，設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），進而根據韋達定理求得|AB|的表達式，根據BC的長等于點（0，m）到直線l的距離求得|BC|的表達式，最后根據勾股定理求得|AC|²的表達式，進而確定AC最大時m的值，直線方程可得．

解答：解：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a 2

+

y2

b2

=1，依題意可知a=2，

c

a

=

6

3

，∴b=

a2-c2

=

2 3

3

∴橢圓w的方程為x²+3y²=4．
（Ⅱ）因為AB∥l，且AB邊通過點（0，0），所以AB所在直線的方程為y=x．
設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂）．
由

x2+3y2=4 y=x

得x=±1．
所以|AB|=

2

|x1-x2|=2

2

．
又因為AB邊上的高h等于原點到直線l的距離．
所以h=

2

，S△ABC=

1

2

|AB|•h=2．
（Ⅲ）設AB所在直線的方程為y=x+m，
由

x2+3y2=4 y=x+m

得4x²+6mx+3m²-4=0．
因為A，B在橢圓上，
所以△=-12m²+64＞0．
設A，B兩點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則x1+x2=-

3m

2

，x1x2=

3m2-4

4

，
所以|AB|=

2

|x1-x2|=

32-6m2

2

．
又因為BC的長等于點（0，m）到直線l的距離，即|BC|=

|2-m|

2

．
所以|AC|²=|AB|²+|BC|²=-m²-2m+10=-（m+1）²+11．
所以當m=-1時，AC邊最長，（這時△=-12+64＞0）
此時AB所在直線的方程為y=x-1．

點評：本題主要考查了橢圓的標準方程和橢圓與直線的關系．考查了學生綜合把握圓錐曲線知識和基本的運算能力．