Question

【題目】已知函數．

(1)若，求的最大值；

(2)若恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）。

【解析】

（1）根據導數可判斷出函數在區間[1,e]上單調遞增，故可得最大值．（2）由f(x)≤0分離參數可得在區間[1,e]上恒成立，令，根據導數求得函數的最小值后可得所求的范圍．

(1)當a＝1時，f(x)＝x＋ln x，

∴f′(x)＝1＋＝．

∵ x∈[1，e]，

∴ f′(x)>0，

∴ f(x)在[1，e]上為增函數，

∴ f(x)max＝f(e)＝e＋1．

(2)∵ f(x)≤0即ax＋ln x≤0對x∈[1，e]恒成立，

∴ a≤－，x∈[1，e]．

令g(x)＝－，x∈[1，e]，

則g′(x)＝，

∵ x∈[1，e]，

∴ g′(x)≤0，當且僅當x=e時等號成立，

∴ g(x)在[1，e]上遞減，

∴ g(x)min＝g(e)＝，

∴ a≤－．

∴實數a的取值范圍為．