Question

【題目】已知函數f(x)＝ln(x＋1)＋ (a∈R)．

(1)當a＝1時，求函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程；

(2)討論函數f(x)的極值；

(3)求證：ln(n＋1)> (n∈N*)．

Answer 1

【答案】（1）y＝2x（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求導計算得切線斜率，進而由點斜式求切線即可；

（2）由，令，得x＝－a－1，討論－a－1和定義域的關系求極值即可；

（3）當a＝－1時，由(2)知，，令x＝ (n∈N*)，，從而得證.

(1)解　當a＝1時，f(x)＝ln(x＋1)＋，

所以＋＝，

所以，

又f(0)＝0，

所以函數f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y＝2x.

(2)解　＋

＝ (x>－1)．

令x＋1＋a＝0，得x＝－a－1.

若－a－1≤－1，即a≥0，

則>0恒成立，此時f(x)無極值．

若－a－1>－1，即a<0，

當－1<x<－a－1時，f′(x)<0，

當x>－a－1時，f′(x)>0，

此時f(x)在x＝－a－1處取得極小值，

極小值為ln(－a)＋a＋1.

(3)證明　當a＝－1時，由(2)知，f(x)min＝f(0)＝0，

所以ln(x＋1)－≥0，即ln(x＋1)≥.

令x＝ (n∈N*)，

則ln≥＝，

所以ln≥.

又因為－＝>0，

所以>，

所以ln>，

所以ln＋ln＋ln＋…＋ln>＋＋＋…＋，

即ln(n＋1)>＋＋＋…＋.